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Geometria (MECC) (A/L)
Geometry
Agnese Ilaria Telloni

Sede Ingegneria
A.A. 2015/2016
Crediti 9
Ore 72
Periodo I
Lingua ITA

Prerequisiti
contenuti dei precorsi

Risultati di apprendimento attesi
L’obiettivo centrale del corso è di mettere alla disposizione degli studenti degli strumenti fondamentali di natura geometrica propedeutici ed indispensabili per i corsi successivi formativi di base nonché legati alla professione ingegneristica.

Programma
Spazio delle matrici mxn: somma, prodotto per scalari. Matrice trasposta. Matrici quadrate, simmetriche, antisimmetriche. Prodotto tra matrici. Matrici invertibili. Determinante e sue proprietà. Teorema di Laplace. Teorema di Binet. Inversa di una matrice invertibile. Rango e indipendenza lineare delle colonne (righe) di una matrice. Metodo di eliminazione di Gauss. Sistemi lineari. Teorema di Cramer. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi dipendenti da parametri. Sistemi a scalini e metodo di riduzione. Spazi vettoriali e sottospazi vettoriali. Generatori di uno spazio. Indipendenza lineare di vettori. Base di uno spazio vettoriale, coordinate e dimensione. Sottospazi vettoriali di Rn: basi, dimensione, equazioni parametriche e cartesiane. Cambiamenti di base e trasformazioni di coordinate. Formula di Grassmann. Sottospazi affini. Applicazioni lineari. Matrice associata a un'applicazione lineare. Nucleo e immagine. Teorema della dimensione. Isomorfismi. Matrici del cambiamento di base. Prodotto scalare canonico. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e disuguaglianza triangolare. Misure. Proiezioni. Coefficiente di Fourier. Basi ortogonali e ortonormali. Procedimento di Gram-Schmidt. Cambiamenti di basi ortonormali. Matrici ortogonali. Endomorfismi e cambiamenti di base: matrici simili. Endomorfismi e matrici diagonalizzabili. Autovettori ed autovalori. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Criteri di diagonalizzabilità. Trasposto di un operatore. Operatori simmetrici e antisimmetrici. Forma quadratica di un operatore simmetrico. Teorema spettrale. Isometrie. Geometria del piano: punti, rette, vettori direttori, asse di un segmento. Mutua posizione di rette. Distanze. Circonferenze. Fasci di rette. Cambiamenti di coordinate cartesiane. Coniche. Geometria dello spazio: punti, rette, vettori direttori. Mutua posizione di punti, rette e piani. Distanze. Sfera. Prodotto vettoriale. Area del parallelogramma e del triangolo. Fasci di piani, fasci e stelle di rette. Prodotto misto. Volume del parallelepipedo e del tetraedro. Cambiamenti di coordinate cartesiane.

Modalità di svolgimento dell'esame
METODI DI VALUTAZIONE DELL'APPRENDIMENTO
L'apprendimento sarà valutato mediante una prova scritta, consistente di quattro esercizi da svolgere in due ore e mezzo, e una prova orale su argomenti trattati nel corso. La prova orale può essere sostenuta avendo ottenuto un punteggio di almeno 18/30 nella prova scritta. Dopo aver superato la prva scritta, lo studente deve sostenere la prova orale nella stessa sessione.

CRITERI DI VALUTAZIONE DELL'APPRENDIMENTO
Per superare le prove con esito positivo, lo studente deve dimostrare di: - conoscere i concetti e i metodi fondamentali della geometria - saper applicare le conoscenze acquisite alla risoluzione degli esercizi proposti - essere in grado di collegare e strutturare le conoscenze e le abilità acquisite per progettare e attuare strategie risolutive a classi di problemi simili a quelli affrontati durante il corso.

CRITERI DI MISURAZIONE DELL'APPRENDIMENTO
Per stabilire il livello di apprendimento si farà uso dei seguenti indicatori: - conoscenza dei concetti e dei metodi della geometria - capacità di esporre correttamente e con linguaggio specifico adeguato i concetti trattati nel corso - abilità nell'applicare i metodi della geometria per risolvere problemi - capacità di collegare le conoscenze e le abilità acquisite per progettare strategie risolutive a classi nuove di problemi.

CRITERI DI ATTRIBUZIONE DEL VOTO FINALE
La prova scritta e la prova orale sono valutate in trentesimi e il voto complessivo viene stabilito dalla media ponderata delle due prove. Si attribuisce una valutazione sufficiente alla conoscenza consapevole dei concetti di base della geometria e alla capacità di applicazione degli stessi per la risoluzione di semplici problemi di algebra lineare e di geometria del piano e dello spazio. Il voto massimo viene assegnato allo studente che dimosri di aver strutturato le conoscenze acquisite in una rete di collegamento con concetti già noti, che sia capace di elaborare strategie risolutive o ragionamenti su problemi nuovi ed esporre con chiarezza, coerenza e coesione i concetti della geometria e i propri processi mentali.

Testi consigliati
M. Abate, C. de Fabritiis ”Geometria analitica con elementi di algebra lineare”, McGrawHill. M. Abate, C. de Fabritiis ”Esercizi di Geometria”, McGraw-Hill. A. Cavicchioli, F. Spaggiari, “Primo modulo di Geometria“, Pitagora. A. Cavicchioli, F. Spaggiar

Corsi di laurea

• Ingegneria Meccanica (Corso di Laurea Triennale (DM 270/04))