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Analisi Matematica 2 (EA)
Mathematics 2
Flaviano Battelli

Sede Ingegneria
A.A. 2016/2017
Crediti 6
Ore 72
Periodo 1s
Lingua ITA

Prerequisiti
Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile. Algebra lineare

Risultati di apprendimento attesi
CONOSCENZE E COMPRENSIONE:
Attraverso la conoscenza degli elementi di base del calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili e lo studio di metodi risolutivi per equazioni differenziali ordinarie, si forniranno agli studenti gli strumenti matematici utilizzati nelle applicazioni dell’ingegneria.
CAPACITA' DI APPLICARE LE CONOSCENZE:
Le numerose applicazioni dell’Analisi Matematica 2 ai problemi di natura chimico-fisica forniranno allo studente le capacità di saper modellare e poi risolvere problemi pratici di tipo ingegneristico e aumenteranno le capacità di fare scelte autonome per individuare le tecniche migliori di risoluzione. Il corso fornirà inoltre la capacità di utilizzare consapevolmente le leggi matematiche allo studio dei fenomeni scientifici in generale.
COMPETENZE TRASVERSALI:
Le competenze acquisite durante i corso saranno indispensabili per affrontare lo studio dei corsi successivi. La risoluzione in aula e individuale di molti problemi ed esercizi migliorerà la capacità di apprendimento e l’autonomia di giudizio. L’esposizione degli argomenti appresi e la specificità del linguaggio proprio delle materie di base svilupperà la capacità comunicativa.

Programma
(Contenuti lezioni frontali) Operazioni coi vettori. Prodotto scalare e norma. Teorema di Cauchy-Schwartz. Intorni sferici. Punti interni, esterni e di accumulazione. Insiemi aperti, chiusi. Limiti di funzioni di più variabili a valori vettoriali. Limiti delle componenti. Limiti lungo una direzione. Criteri per la verifica del limite. Coordinate polari e sferiche. Algebra dei limiti. Funzioni continue e proprietà. Insiemi connessi e connessi per archi. Immagine continua di un connesso. Teoremi degli zeri e dei valori intermedi. Insiemi compatti. Teorema di Weierstrass. Funzioni differenziabili. Differenziabilità e continuità. Derivate direzionali. Teorema del gradiente. Direzione di massima crescita. Iperpiano tangente. Teorema del differenziale totale. Continuità e Lipschitzianità delle applicazioni lineari. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwartz. Matrice Hessiana. Differenziabilità delle funzioni a valori vettoriali e differenziabilità delle componenti. Matrice Jacobiana. Regole di differenziazione. Funzioni di Classe C^k e teorema di Schwartz. Formula di Taylor con resto del second'ordine nella forma di Lagrange e con resto di Peano. Massimi e minimi liberi locali. Condizione del primo ordine. Segno della matrice Hessiana in un punto di max/min/sella. Test di riconoscimento di punti stazionari. Segno degli autovalori di una matrice simmetrica. Il Teorema del Dini. Max/min vincolati. Punti regolari di un vincolo. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Varietà differenziabili e spazio tangente. Gradiente di una funzione e retta normale. Curve regolari e loro lunghezza. Integrali curvilinei di prima specie. Vettore e versore tangente. Curvatura e versore normale, torsione e versore binormale. Formule di Frénét. Misura di un pluri-intervallo. Insiemi misurabili. Proprietà della misura di Peano-Jordan. Partizioni di un insieme misurabile. Somme inferiori e somme superiori. Funzioni Riemann integrabili. Integrabilità delle funzioni localmente costanti. Trascurabilità degli insiemi di misura nulla. Formule di riduzione. Integrazione per strati e fili. Integrazione per sostituzione. Calcolo di volumi e Teorema di Guldino. Integrazione su varietà. Indipendenza dalla parametrizzazione. Teorema di Guldino per le superfici di rotazione. Integrali curvilinei di seconda specie. Campi vettoriali e 1-forme differenziali. Campi conservativi e campi irrotazionali. Il rotore di un campo di R^3. La formula di Gauss-Green. Forme differenziali. Il differenziale esterno. Orientazione di una varietà. Varietà con bordo. Orientazione del bordo di una varietà orientabile. Orientazione di una ipersuperficie e normale esterna. Il teorema di Stokes e conseguenze: i teoremi del rotore e della divergenza. Equazioni differenziali. Teorema di Peano. Funzioni localmente Lipschitziane. Teorema di Cauchy. Intervallo massimale e sue proprietà. Sistemi lineari. Principio di sovrapposizione. Matrice Fondamentale. Formula di variazione della costanti arbitrarie. Metodo della somiglianza. (Contenuti esercitazioni)Verranno svolti esercizi su: ricerca di massimi e minimi liberi e vincolati, calcolo integrale in R^n, calcolo di flussi e circuitazioni, utilizzo dei teoremi di Stokes e della divergenza, risoluzione di equazioni differenziali.

Modalità di svolgimento dell'esame
METODI DI VALUTAZIONE DELL'APPRENDIMENTO
Prova scritta seguita da prova orale. Per accedere alla prova orale lo studente deve aver ottenuto almeno 15/30 nella prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello della prova scritta. Nel caso la prova orale dia esito negativo lo studente deve ripetere anche la prova scritta.

CRITERI DI VALUTAZIONE DELL'APPRENDIMENTO
Lo studente deve dimostrare di aver compreso gli argomenti del corso e di saperli utilizzare ai fini di risolvere problemi concreti.

CRITERI DI MISURAZIONE DELL'APPRENDIMENTO
Alle prove scritta e orale è assegnato un punteggio compreso tra zero/30 e 30/30.

CRITERI DI ATTRIBUZIONE DEL VOTO FINALE
L'esito complessivo della valutazione è positivo se lo studente consegue almeno 15/30 nelle prova scritta ed ottiene una valutazione finale di almeno 18/30. Il voto finale è dato per i 2/5 dal voto ottenuto nella prova scritta e per i 3/5 da quello nella prova orale. La lode è riservata agli studenti che, avendo svolto tutte le prove in modo corretto e completo, abbiano dimostrato una particolare brillantezza nella esposizione orale e nella redazione degli elaborati scritti.

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Corsi di laurea

• Ingegneria Edile-Architettura (Corso di Laurea Magistrale con Riconoscimento Europeo (DM 270/04))