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Analisi Matematica 2 (EA)
Mathematics 2
Flaviano Battelli

Sede Ingegneria
A.A. 2015/2016
Crediti 6
Ore 72
Periodo 1s
Lingua ITA

Prerequisiti
Analisi Matematica 1, Geometria

Risultati di apprendimento attesi
Il corso è la naturale prosecuzione del corso di Analisi Matematica 1 al primo anno e si pone come approfondimento ed ampliamento degli strumenti matematici necessari per affrontare dal punto di vista analitico i problemi tecnici e tecnologici sottesi dal progettare e dal costruire per l'architettura.

Programma
Vettori e operazioni coi vettori. Prodotto scalare e norma. Il teorema di Cauchy-Schwartz. Intorni sferici. Punti interni, esterni e di accumulazione. Insiemi aperti, chiusi. Punti di accumulazione. Limiti di funzioni di più variabili a valori vettoriali. Limite delle componenti. Alcuni limiti elementari. Limiti lungo curve particolari, limiti secondo una direzione. Un criterio per la verifica del limite. Coordinate polari e sferiche. Algebra dei limiti. Limite infinito e all'infinito. Funzioni continue. Algebra delle funzioni continue. Insiemi connessi e connessi per archi. Immagine continua di un connesso. Teorema degli zeri e dei valori intermedi. Insiemi compatti. Teorema di Weierstrass. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili. Funzioni differenziabili. Derivate direzionali. Gradiente e Teorema del gradiente. L'iperpiano tangente al grafico di una funzione. Unicità e teorema di esistenza. Il teorema del differenziale totale. Continuità e Lipschitzianità delle applicazioni lineari. Differenziabilità e continuità. Direzione di massima crescita. Derivate di ordine superiore. Teorema di Schwartz. Matrice Hessiana. Differenziabilità delle funzioni a valori vettoriali e differenziabilità delle componenti. Matrice Jacobiana. Differenziabilità della funzione composta. Regole di differenziazione. Funzioni di Classe C^k e teorema di Schwartz. Formula di Taylor in n variabili. Formula di Taylor con resto del second'ordine nella forma di Lagrange e con resto di Peano. Massimi e minimi liberi locali. Massimi e minimi e punti stazionari. Segno della matrice Hessiana in un punto di max/min/sella. Condizione sufficiente per il riconoscimento di punti stazionari. Studio del segno degli autovalori di una matrice simmetrica. Il Teorema del Dini in due o più variabili e con uno o più vincoli. Il problema della ricerca di max/min vincolati. Punti regolari di un vincolo. Il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Varietà differenziabili. Spazio tangente ad una varietà differenziabile. Unicità e caratterizzazione. Gradiente di una funzione e retta normale. Curve regolari. Lunghezza di una curva regolare. Integrali curvilinei di prima specie. Vettore e versore tangente. Curvatura e versore normale, torsione e versore binormale. Formule di Frénét. Norma dell'integrale e integrale della norma. Misura di un pluri-intervallo. Misura esterna e misura interna. Insiemi misurabili. Proprietà della misura di Peano-Jordan. Partizioni di un insieme misurabile. Somme inferiori e somme superiori associate ad una partizione. Funzioni Riemann integrabili. Classi di partizioni utili per il calcolo dell'integrale di Riemann. Integrabilità delle funzioni localmente costanti. Trascurabilità degli insiemi di misura nulla. Formule di riduzione e formula di integrazione per sostituzione. Integrazione per strati e fili. Il teorema di Cavalieri. Calcolo di volumi e Teorema di Guldino. Integrazione su varietà. Indipendenza dalla parametrizzazione. Teorema di Guldino per le superfici di rotazione. Integrali curvilinei di seconda specie. Campi vettoriali e 1-forme differenziali. Campi conservativi e campi irrotazionali. Condizioni equivalenti alla conservatività. Il rotore di un campo di R^3. La formula di Gauss-Green. Il concetto di forma differenziale. Il differenziale esterno. Orientazione di una varietà. Varietà con bordo. Orientazione del bordo di una varietà orientabile. Orientazione di una ipersuperficie e calcolo della normale esterna. Forme differenziali e formula di GaussGreen. Il teorema di Stokes e conseguenze: i teoremi del rotore e della divergenza. Equazioni differenziali in forma normale. Il Teorema di esistenza di Peano. Funzioni localmente Lipschitziane. Differenziabilità e Lipschitzianità. Il Teorema di esistenza ed unicità di Cauchy. Intervallo massimale e relazione con l'intervallo di definizione. Proprietà dell'intervallo massimale. Sistemi lineari. Il principio di sovrapposizione. Lo spazio vettoriale delle soluzioni di un'equazione linea

Modalità di svolgimento dell'esame
METODI DI VALUTAZIONE DELL'APPRENDIMENTO
Prova scritta seguita da prova orale. Per accedere alla prova orale lo studente deve aver ottenuto almeno 15/30 nella prova scritta. La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello della prova scritta. Nel caso la prova orale dia esito negativo lo studente deve ripetere anche la prova scritta.

CRITERI DI VALUTAZIONE DELL'APPRENDIMENTO
Lo studente deve dimostrare di aver compreso gli argomenti del corso e di saperli utilizzare ai fini di risolvere problemi concreti.

CRITERI DI MISURAZIONE DELL'APPRENDIMENTO
Alle prove scritta e orale è assegnato un punteggio compreso tra zero/30 e 30/30

CRITERI DI ATTRIBUZIONE DEL VOTO FINALE
L'esito complessivo della valutazione è positivo se lo studente consegue almeno 15/30 nelle prova scritta ed ottiene una valutazione finale di almeno 18/30. Il voto finale è dato per i 2/5 dal voto ottenuto nella prova scritta e per i 3/5 da quello nella prova orale. La lode è riservata agli studenti che, avendo svolto tutte le prove in modo corretto e completo, abbiano dimostrato una particolare brillantezza nella esposizione orale e nella redazione degli elaborati scritti.

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Corsi di laurea

• Ingegneria Edile-Architettura (Corso di Laurea Magistrale con Riconoscimento Europeo (DM 270/04))